复杂性的随想2

自发性的对称破缺

除了模型本身自带的微细不对称性之外，自然现象上不对称性，其实主要是源自所谓的自发对称破缺（spontaneoussymmetricbreaking）——这是一种在自然界普遍存在却又令人深感奇妙的机制，使得物理学家们得以理解高度对称的微观结构如何自然地涌现出宏观上的不对称性；而不同的不对称性从某种意义上就界定了不同的“相”(phase)。从这个角度看，自发对称破缺机制颇有些无中生有的味道。

一个有趣又有些老生常谈的故事，据说南部（南部阳一郎，YoichiroNambu）是其始作俑者，经常被拿来解释这个机制：想象一群人聚餐围坐着一个大圆桌，桌子上每两个人中间都预先准备了一杯水。不难想象，原则上每个人刚好能分到一杯，但是怎么分配往往取决于第一个拿水的——如果有人先拿了他（她）左手边的杯子，那么其他所有人也只能选择自己左手边的杯子；反之则只能都拿自己右手边的。很自然的，一开始左右手边的对称性被打破，打破的源头是第一个人的自由选择，这个自由性本身也同样具有左右对称的任意性，然而选择一旦给定，就被放大固化成某种集体效应，变成所有的人整体选择。

这当然只是一个为了方便理解的例子。不过从某种意义上说，自发对称破缺就是一种（部分）微观自由度——上述例子中的个体自由，在物理模型里面被微观上的内蕴不确定性（量子涨落或者热涨落）替代——被冻结放大而最终形成不对称的宏观形态的机制。

物理上最简单的例子，大概无过于用来解释磁化现象的伊辛模型(Isingmodel)。在这个模型里面，每个电子存在上下对称的自旋（微磁矩），相邻的电子间有微观上的磁作用（排斥或吸引取决于彼此自旋的同异性）。在统计物理里，热涨落（温度）使得每个电子随机的改变自己自旋的上下方向，当然，而每个状态的可能性（概率）并不完全均等，而是取决于这个状态的能量（自由能）：能量越低的可能性越高，不同概率的差距随着微观粒子数目的增加而急速增加。数学上，当粒子数趋向无穷大的时候，处于最低能量的概率为1，也就是说几乎一定在最低能量上（这是所谓的变分原理）。

下面示意图中的红线表示伊辛模型各种宏观状态的能量。因为微观状态的自旋是上下对等的，所以红色的能量先沿着零轴左右对称。在较高温度的情况下，伊辛模型的状态能量只有一个最低能量的低谷位于零轴的位置（左上图），使得在统计上看到宏观的磁效应为零（顺磁，非磁铁）。有意思的是，当温度足够低的时候，红线变成了一个双谷的结构（中图），虽然它本身还是左右对称，但是跟上面餐桌的例子类似，任意小的微细变化都可以使这个对称性破坏，而让宏观状态落入其中一个谷里面（右图），而当这个破坏一旦发生，就几乎是不可逆的——从一个谷变到另一个的时间也同样趋向无穷大，所以我们看到了所谓的具有不对称方向性的铁磁现象（磁铁）。而在温度连续降低，物质从顺磁相向铁磁相转变的过程中，在数学上接近了某种程度的不连续过程（磁化率不连续），这使得这两个不同的相得以明确地区分开来。

值得注意的是，这样的对称破坏在数学上其实是部分源于微观粒子无穷多的假设。在现实世界中，当然不存在这样的系统，不过一般而言，宏观物质的微观粒子数大致上以(23个零)量级记，所以上下对称的自由度被冻结到一个相当坚固的程度，但，原则上却也不能说完全失去。同样的，不同相之间的绝对区分，实际上中也无非是一个相对尖锐的连续变化而已。[tobecontinued]